《高等代数》教学大纲

（ 2000 年修订，李桂贞执笔）

一、  课程的适用专业、学时及学分

本课程的适用专业为：数学与应用数学专业， 187 学时， 11 学分。

二、课程的性质、目的和任务

《高等代数》是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程。通过学习本课程，使学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。

三、与其它课程的联系

《高等代数》是数学专业必修的代数类基础课，是中学代数的继续和提高，是后续的专业课如常微分方程、近世代数、泛函分析等课程的先修课。

四、课程的基本内容、重点及难点

（一）基本概念

本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。

1 、集合

子集 集的相等 集合的交与并及其运算律 笛卡儿积

2 、映射

映射 满射 单射 双射 映射的相等 映射的合成 可逆映射 映射可逆的充要条件

3 、数学归纳法

自然数的最小数原理 第一数学归纳法 第二数学归纳法

4 、整数的一些整除性质

5 、数环和数域

重点及难点： 映射 可逆映射 数域。

（二）多项式

本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。

1 、一元多项式的定义和运算

2 、多项式的整除性

整除的基本性质 带余除法定理

3 、多项式的最大公因式

最大公因式概念、性质 辗转相除法 多项式互素概念、性质

4 、多项式的唯一因式分解定理

不可约多项式概念 唯一因式分解定理 典型分解式

5 、多项式的重因式

多项式的重因式概念 多项式有重因式的充要条件

6 、多项式函数与多项式的根

多项式函数的概念 余式定理 综合除法 多项式的根的概念 根与一次因式的关系 多项式根的个数

7 、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）

8 、有理数域上多项式的可约性及有理根

本原多项式的定义 Gauss 引理 整系数多项式在有理数域上的可约性问题 Eisenstein 判别法有理数域上多顶式的有理根

9 、多元多项式

多元多项式的概念 字典排列法 多元多项式的和与积的次数

10 、对称多项式

对称多项式的概念 初等对称多项式 对称多项式基本定理

重点及难点： 整除，最大公因式，互素，典型分解式，代数基本定理， Eisenstein 判别法。

（三）行列式

行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，也是一种重要的数学工具。

1 、二阶和三阶行列式的结构

2 、排列

排列的概念 反序数及排列的奇偶性 对换及其对排列奇偶性的影响

3 、 n 阶行列式的定义和性质

4 、行列式依行依列展开

余子式与代数余子式的概念行列式依行依列展开 Vandermonde 行列式

5 、 Cramer 规则

6 、 Laplace 定理

重点及难点： n 阶行列式的计算， Vandermonde 行列式。

（四）线性方程组

本章在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。此外，它在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。

1 、线方程组的消元法

线性方程组的初等变换 方程组的一般解和自由未知量 系数矩阵和增广矩阵

2 、矩阵的秩

k 阶子式 矩阵秩的定义 初等变换不改变矩阵的秩 用初等变换求矩阵的秩

3 、线性方程组有解的判别法

线性方程组有解判别定理及解的个数定理

4 、线性方程组的公式解

线性方程组的公式解齐次线性方程组及其非零解的概念齐次线性方程组有非零解的充要条件

5 、结式和判别式

结式判别式二元高次方程组的解法

重点及难点： 矩阵的秩的概念及求法 线性方程组有解的判别及求解

（五）矩阵

矩阵是线性代数的一个主要研究对象，它是数学及其它学科的一个重要工具。本章主要介绍矩阵的运算及其基本性质。

1 、矩阵的运算

矩阵的加法、数乘、乘法和转置单位矩阵

2 、逆矩阵

可逆矩阵及逆矩阵的概念可逆矩阵的性质求逆矩阵的公式

3 、初等矩阵

初等矩阵与初等变换的关系可逆矩阵的判定用初等变换求逆矩阵

4 、矩阵乘积的行列式与秩

5 、矩阵的分块

矩阵的分块分块矩阵的加法、数乘及乘法对角线分块矩阵

重点及难点： 逆矩阵的求法，初等矩阵与初等变换的关系。

（六）向量空间

向量空间的理论是线性代数的主要内容，它在自然科学和工程技术的许多领域中有着广泛的应用。本章主要介绍向量空间的概念与性质。

1 、向量空间的定义、例子及简单性质。

2 、子空间

子空间的定义及充要条件子空间的交与和

3 、向量组的线性相关性

线性相关线性无关替换定理及其推论等价的向量组及其性质，极大无关组及其性质。

4 、基和维数

生成子空间基和维数的定义基的性质维数公式

5 、子空间的直和

直和的定义及充要条件。

6 、坐标

坐标的定义过渡矩阵基变换公式坐标变换公式

7 、向量空间的同构

同构映射的定义与性质向量空间同构的定义与充要条件

8 、齐次线性方程组的解空间

矩阵的行（列）空间齐次线性方程组的基础解系

9 、非齐次线性方程组解的结构。

重点及难点： 向量的线性相关性，基与维数的求法，过渡矩阵，直和的充要条件，齐次线性方程组的基础解系，线性方程组解的结构。

（七）线性变换

线性变换是向量空间中最简单而又最基本的变换。它是线性代数的主要研究对象之一，对于研讨向量空间中向量之间的内在联系及向量空间的结构起着重要的作用。本章主要介绍线性变换的运算、性质、线性变换与矩阵的关系及矩阵的相似与化简。

1 、线性变换的定义及其简单性质

2 、线性变换的象与核

线性变换的象与核的定义及其基与维数的求法

3 、线性变换的运算

线性变换的加法、数乘与乘法，可逆线性变换及其逆变换

4 、线性变换和矩阵

线性变换的矩阵向量的象的坐标公式线性变换与矩阵的同构对应

5 、矩阵的相似

定义同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系

6 、不变子空间

7 、特征根、特征向量、特征多项式

特征根、特征向量及特征子空间的定义、求法矩阵的迹和行列式同特征根的关系相似矩阵的特征多项式

8 、可对角化的矩阵

属于不同特征根的特征向量的线性无关性特征子空间的维数与所属特征根的重数关系线性变换和矩阵可对角化的条件

重点及难点： 线性变换与矩阵的同构对应，特征根，特征向量，矩阵的相似，线性变换的象与核。

（八）欧氏空间

欧氏空间是实数域上带有一个内积的向量空间，是通常几何空间的推广。本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基和正交变换。

1 、欧氏空间的定义及基本性质

2 、 Cauchy—Schwarz 不等式向量的长度及两个向量的夹角

3 、正交基标准正交基和正交化方法

4 、向量与子空间的正交正交补向量到子空间的距离

5 、同构的定义和同构的充要条件

6 、正交变换与正交矩阵

正交变换与正交矩阵的关系一个线性变换是正交变换 的充要条件

7 、对称变换与实对称矩阵

对称变换的定义对称变换与实对称矩阵的关系对称矩阵的标准形

8 、酉空间

9 、酉变换和对称变换

重点及难点： Cauahy-Schwarz 不等式，正交基与正交化方法，正交补，正交变换，对称矩阵的标准形。

（九）二次型

二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关内容的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象。本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判别。

1 、二次型的矩阵表示

二次型的定义变量的非退化线性变换二次型的秩二次型的化简与对称矩阵的合同

2 、标准形

3 、复数域和实数域上二次型的标准形的唯一性惯性定理

4 、正定二次型的定义及充要条件

正定二次型的定义正定矩阵正定二次型的充要条件

重点及难点： 矩阵的合同，求二次型的标准形和典范形，正定二次型的判别。

五、学时分配表

六、教材与参考书

[1] 张禾瑞，郝鈵新编 . 高等代数 ( 第四版 ). 北京 : 高等教育出版社 , 1996.

（选用教材）

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编 . 高等代数（第二版） . 北京 : 高等教育出版社 ,1997.

[3] 丘维声编 . 高等代数 . 北京 : 高等教育出版社  ,1996.

[4] 华南师范大学数学系代数教研室编 . 高等代数 . 广州 : 华南理工大学出版社 ,1994.

[5] 丘维声译 . 用 MAPLEV 学习线性代数 . 北京 : 高等教育出版社  , 2001.

[6] 李 W. 约翰等 . 线性代数引论 ( 英文版 ). 北京 : 机械工业出版社 ,2001.

[7]   张均本编 . 高等代数习题课参考书 . 北京 :   高等教育出版社 , 1991.

[8] 王萼芳编 . 高等代数教程习题集 . 北京 : 清华大学出版社 , 1996.

[9] 杨子胥编 . 高等代数习题解 . 济南 : 山东科学技术出版社 ,2001.

[10] 钱芳华等编 . 高等代数习题课教材 .   桂林 : 广西师范大学出版社  ,1997.

[11] 许甫华 , 张贤科编 . 高等代数解题方法 .   北京 : 清华大学出版社 ,  2001.